差分の一般化に関するツイートまとめ

はじめに

最近、微分環や差分の一般化について考えていたので、ツイート見つけ出すのが難しくなる前にまとめときます。

ツイートまとめ

lim[h→0](f(x+h) - f(x-h))/*1
って、対称微分っていうらしい
高校生に頃に考えてた概念に名前ついてて嬉しいhttps://t.co/V0UXiSUwHI

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月12日

微分可能なら対称微分可能だし(逆は成り立たない)
絶対値関数 │x│ は対称微分可能だし、
準平均値の定理ってやつもあるらしい https://t.co/O8SYUiuI5w

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月12日

差分(微分の仲間)
Δf(x) := f(x+1) -f(x)
って、ライプニッツ則(もどき)を満たすみたい

Δ(f(x)g(x))
= Δf(x)g(x+1) + f(x)Δg(x)
= Δf(x)g(x) + f(x+1)Δg(x)

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月12日

あれもしかして、
f'(x) = (f(x+h) -f(x))/h
で定義される微分もどきって

(f(x)g(x))'
= f'(x)g(x+h) + f(x)g'(x)
= f(x)'g(x) + f(x+h)g'(x)
が成り立つのでは

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月12日

微分環の定義
∂(x+y) = ∂(x)+∂(y)
∂(xy) = ∂(x)σ(y)+x∂(y) = ∂(x)y+σ(x)∂(y)

となる関数∂、σが存在する
とした方がいいんじゃないかな
もしくは差分環とでも呼ぶ？https://t.co/4SwO6LSDXk

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月12日

3つの積で考えてみたけど、
6パターンあるな。

(fgh)’
= f’g*h*+fg’h*+fgh’
= f’g*h*+fg’h+fg*h’
= f’gh*+f*g’h* + fgh’
= f’gh+f*g’h*+f*gh’
= f’g*h+fg’h+f*g*h’
= f’gh+f*g’h+f*g*h’

予想だと、nつの積はn!パターンある気がする

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

乗法的積分ってものがあるらしい

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

https://twitter.com/lovemeasure9

微分環と双対数(二重数)に関係があったとは
まあ自動微分とかみたいな話あるからなhttps://t.co/EHlusdKZ4C

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

半分配環論入門読みたい〜
(環から片側の分配を削ったやつっぽい)

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月16日

関数の合成と関数の積(和)って近環になるのかな

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月16日

差分って、もしかして連鎖律成り立たないのか？
f( g(x+1)) - f(g(x) ) = ( f(g(x)+1) - f(g(x)) )(g(x+1)-g(x))

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

g(x+1)=g(x)+1となるようなg(x)なら成り立つ気がする

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

差分って、積の公式っぽいのがあって微分っぽいと思っていたけど、連鎖律っぽいのがないのは微妙だな

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

合成関数の差分が知りたい

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

合成関数の中身の方は取り出せるけど、
外側の部分がh→0以外では差分とかにならないんよな pic.twitter.com/fBXVwRcuUC

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月15日

自然数乗の場合の合成関数の差分はこんな感じになりそう pic.twitter.com/6ZoaFcHUO6

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月16日

微分環で積分みたいなことって考えるのかな

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

環において
∂(x+y) = ∂(x)+∂(y)
∂(xy) = ∂(x)y+x∂(y)
という写像∂が存在するとき

∂(ζ(x)) = x
ζ(∂(x)) = x + c
∂(c) = 0
を満たす写像ζ(x)が存在するとか？

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

ところで
∂(x) = 1
∂(c) = 0
となる x や c って名前あったりするのかな
つまり微分して乗法単位元になるものと
微分して加法単位元になるもの

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

やった！！一般化した差分における対数の類似した関数の積分表示作れたっぽいぞ

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

h→0で自然対数になってくれるし、
差分すると1/xになる https://t.co/rQsFDNVPkO pic.twitter.com/CpLAJt6ZYU

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

どうやってこの関数を求めたかメモしとくか

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

まず次の性質を満たすものを、差分における対数に類似した関数L(x)とする
1.L'(x) = 1/x
2.L(1) = 0

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

L'(x) = 1/xというのは
(L(x+h) -L(x))/h = 1/x すなわち
L(x+h) = L(x) + h/x

つまり
L(x+2h) = L(x+1) + h/x+1 = L(x) + h/x + h/x+1
…
L(x+nh) = L(x) + h∑[k=0…n-1]1/x+kh
x=1として
L(1+nh) = h∑[k=0…n-1]1/1+kh

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

∑[k=0…n-1]1/1+kh
をどうするかが問題になる
ここでは簡単のためにh=1を考える

H(n) = ∑[k=0…n-1]1/1+k
H(n)は
H(1) = 1
H(2) = 1+1/2
H(3) = 1+1/2+1/3
…
このH(n)という自然数の逆数和は調和数と呼ばれ
次のような積分表示が知られている

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

H(n) = ∫[0,1] 1-t^n/1-t dt

これは
1-t^n/1-t = 1+t+t^2+…+t^n-1
が成り立つことと
その積分
∫1+t+t^2+…+t^n-1
= t+t^2/2+t^3/3+…+t^n/n
を考えると
成り立つことがわかる

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

h=1のときは
L(1+n) = ∑[k=0…n-1]1/1+k = H(n) = ∫[0,1] 1-t^n/1-t dt
x=1+hで置き換えると

L(x) = ∫[0,1] (1-t^x-1)/(1-t) dt

ではhが一般の場合はどうだろうか

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

L(1+nh) = h∑[k=0…n-1]1/1+kh
のうち、∑[k=0…n-1]1/1+khに注目して考える。
G(n) = ∑[k=0…n-1]1/1+khとすると

G(1) = 1
G(2) = 1+ 1/1+h
G(3) = 1+ 1/1+h + 1/1+2h

今回はこの数列の積分表示を見つけたいが、先ほどと同じような手順で求めることができる

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

t + t^1+h/1+h + t^1+2h/1+2h+ …+ t^1+(n-1)h/1+(n-1)h
というtの関数に1を代入した関数がG(n)となる
なので、このtの関数を微分したものを[0,1]で定積分すれば良い

t + t^/1+h + t^1+2h/1+2h+ …+ t^1+(n-1)h/1+(n-1)h
は微分すると
1 + t^h + t^2h + … + t^(n-1)h

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

これは
(1 - t^nh)/(1-t^h) と表される
つまりG(n) = ∫[0,1] (1-t^nh)/(1-t^h) dt

L(1+nh) = h∑[k=0…n-1]1/1+kh
= hG(n) = h∫[0,1] (1-t^nh)/(1-t^h) dt

x = 1+nhと置くと、
L(x) = h∫[0,1] (1-t^((x-1)/h)h)/(1-t^h) dt
= h∫[0,1] (1-t^(x-1)/(1-t^h) dt

説明終わり

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

(1+h)^x/h は
h∫[0,1] (1-t^(x-1)/(1-t^h) dt
の逆関数ではないみたい pic.twitter.com/JiamsWGM0u

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

取り合えず合成してみた pic.twitter.com/6cm9RTeglq

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

L(xy) = L(x)+L(y)
は流石に成り立たないっぽいね pic.twitter.com/r3LaSAxeXe

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

類似した公式はないのかな？
知りたい

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

とはいえ、十分大きい値では近い値取るみたいだけどね
(対数オーダーの関数なら全部そうなのでは？)
あとは積abがa<<bとかでも、近くなるみたい pic.twitter.com/foAkyrJVjp

— 愛計@0時就寝0日目Progat0日目(連続記録) (@lovemeasure9) 2023年5月17日

*1:x+h) - (x-h